n次元正単体について
n次元単体の全ての辺の長さが等しいとき正単体と呼び、そのとき、
となり、(n+1)×(n+1)行列とすると、とも書ける。n次元単体が正単体となるときに限り重心・垂心・内心・外心が一致し、その一致する中心からn次元正単体の1辺を見込む角度は、どこも等しくとなる。
となり、(n+1)×(n+1)行列とすると、とも書ける。n次元単体が正単体となるときに限り重心・垂心・内心・外心が一致し、その一致する中心からn次元正単体の1辺を見込む角度は、どこも等しくとなる。
n次元正単体のk次元面接半径
n次元正単体の1辺の長さをとしたとき、垂線の長さはとなることから、n次元正単体のk次元面接超球の半径は下記のように表せる。
nの値 | 0次元 | 1次元 | 2次元 | 3次元 | (n-1)次元面接超球の半径 |
1 | |||||
2 | |||||
3 | |||||
4 | |||||
k次元のとき |
面接半径不等式 において
任意のn次元単体は、外接超球が同じとなる正単体よりもつぶれた形となり、k次元面接超球はより小さくなる。
よって、においてその次元の面接超球が存在する場合、が成り立つ。
内接超球・外接超球は任意のn次元単体で存在するので、常にが成り立つ。
よって、においてその次元の面接超球が存在する場合、が成り立つ。
内接超球・外接超球は任意のn次元単体で存在するので、常にが成り立つ。