雫累円列定理
上図のように,ある平行でない2辺
(の交点の半頂角をとおく)に接し,
かつ,互いに接する半径r_Lの小円と
半径r_Rの大円を考える.
(の交点の半頂角をとおく)に接し,
かつ,互いに接する半径r_Lの小円と
半径r_Rの大円を考える.
このとき,sinφ=(r_R - r_L)/(r_R + r_L)
となることから,r_L/r_R = (1-sinφ)/(1+sinφ)
…①が成り立つ.
となることから,r_L/r_R = (1-sinφ)/(1+sinφ)
…①が成り立つ.
また,上記の2辺に接し,かつ,小円O(r_L)の
中心を通る中円の半径をr_Iとおけば,sinφ=(r_I-r_L)/r_I
より,r_L = r_I (1-sinφ) (この式形なんか立体角の問題で見たな)
…②となる.
中心を通る中円の半径をr_Iとおけば,sinφ=(r_I-r_L)/r_I
より,r_L = r_I (1-sinφ) (この式形なんか立体角の問題で見たな)
…②となる.
ここで,①と②から,r_R = r_I (1+sinφ) が導けるので,
このとき2辺の成す角2φによらずピッタリ「r_L + r_R = 2 r_I」
となっていることがわかる.これは,「ある2辺に接し互いにも
接する2円があるとき,その2辺に接しその2円の中心
を丁度通るような円が常に存在する.」(雫累円列定理)
ということである.
このとき2辺の成す角2φによらずピッタリ「r_L + r_R = 2 r_I」
となっていることがわかる.これは,「ある2辺に接し互いにも
接する2円があるとき,その2辺に接しその2円の中心
を丁度通るような円が常に存在する.」(雫累円列定理)
ということである.
さらに,このとき,上記の2辺と中円O(r_I)の接点を結ぶ線分が
小円O(r_L)と接している(r_L + r_L/sinφ = r_I cosφ/tanφ
から導ける)関係も,2辺の成す角2φによらず成り立つ.
これらをまとめて「雫累円列定理」と呼び,以下で用いる.
小円O(r_L)と接している(r_L + r_L/sinφ = r_I cosφ/tanφ
から導ける)関係も,2辺の成す角2φによらず成り立つ.
これらをまとめて「雫累円列定理」と呼び,以下で用いる.