05年度AD3年口頭試験キーワード 68.Z変換

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z変換 (z transform)
離散時間信号およびシステムの表現・解析手段の一つ。離散時間信号に対するフーリエ変換の一般化。連続時間信号に対するラプラス変換に対応する。

離散時間信号x(n)のz変換X(z)は、zを複素数として下式で定義される。

X(z)=Σ(n=-∞→∞)[x(n)z^(-n)]

与えられたx(n)に対してX(z)が収束するzの集合を収束領域と呼ぶ。

一方、X(z)の逆変換は下式で与えられる。

x(n)=1/(2πj)・∫(C)[X(z)z^(n-1)]dz	(このときの積分は経路Cの周回積分)

ただし、周回積分の経路Cは、収束領域内にとったz平面状の原点を囲む反時計回りの閉曲線とする。一般には、X(z)をべき級数展開してz^(-n)の係数としてx(n)を求める方法や、X(z)を部分分数展開により単純な形の項の和として表し、既知のz変換-逆z変換の対応関係を利用して全体の逆z変換を求める方法などが用いられる。

安定な信号に対しては、z平面状の単位円が収束領域に含まれ、このとき単位円z=e^(jω)上でz変換を評価した値X(e^(jω))はフーリエ変換と一致する。

参照:音響用語辞典

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